Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b∈N₊）的两个焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，|OP|＜5，若|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比数列，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}$-y²=1
• B． $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{2}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{3}$=1
• D． $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 通过等比数列双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|²=20+3b²．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，结合双曲线的方程即可得到结论．

解答 解：∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列，
∴|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16…①
设∠POF₁=θ，则∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化简得：|OP|²=8+3c²=20+3b²．
因为|OP|＜5，b∈N，
所以20+3b²＜25．
即b²＜$\frac{5}{3}$，
所以b=1．
则双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}$-y²=1，
故选：A

点评 本题考查双曲线的定义，余弦定理以及等比数列的应用，根据等比数列的性质结合余弦定理建立方程公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．