Question

11．设α、β、γ均为实数．
（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．
（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

Answer 1

分析 （1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；
（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可证明结论．

解答 证明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ-sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|；
|sin（α+β）|=|sinαcosβ-cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．
（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，
∵α+β+γ=0，
∴|cos[α+β+γ]=1
∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

点评 本题考查和的余弦、正弦公式，考查绝对值三角不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用绝对值三角不等式是关键．