Question

已知函数f（x）=4^x-2^x+1+1，函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，

  4

  3

  ]
• C、[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x₁）=g（x₂）成立，推断出f（x）与g（x）的值域的交集不等于空集，即可得到结论．

解答： 解：f（x）=4^x-2^x+1+1=（2^x）²-2×2^x+1=（2^x-1）²，
∵x∈[0，1]，∴2^x∈[1，2]，
即0≤f（x）≤1，即函数f（x）的值域为[0，1]，
∵a＞0，∴当x∈[0，1]，

π

6

x∈[0，

π

6

]，
则sin

π

6

x∈[0，

1

2

]，
则2-2a≤g（x）≤2-

3a

2

，即函数g（x）的值域为[2-2a，2-

3a

2

]，
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
在[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

a]=∅，则2-

3a

2

＜0或2-2a＞1，
∴0＜a＜

1

2

或a＞

4

3

，
∴当[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅时，a的取值范围为[

1

2

，

4

3

]，
∴实数a的取值范围是[

1

2

，

4

3

]，
故选：B．

点评：本题主要考查方程根的关系，根据条件求出函数的值域，结合集合关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．