Question

以下有四种说法：
①若p或q为真，p且q为假，则p与q必为一真一假；
②若数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n+1，n∈N^*，则a_n=2n，n∈N^*；
③若实数t满足f（t）=-t，则称t是函数f（x）的一个次不动点，设函数f（x）=lnx与函数g（x）=e^x（其中e为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m，则m=0
④若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期．
以上四种说法，其中正确说法的序号为

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①．利用“或”与“且”命题真假的判定方法可得：p与q必为一真一假；
②．利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，n=1时，a₁=3，即可判断出；
③．由于函数f（x）=lnx与函数g（x）=e^x互为反函数，关于直线y=x对称，可得所有次不动点之和为m=0；
④．由于f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即可得出函数f（x）的周期是6．

解答： 解：对于①．若p或q为真，p且q为假，则p与q必为一真一假，正确；
对于②．若数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n+1，n∈N^*，则n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，n=1时，a₁=3，因此上式对于n=1不成立，不正确；
对于③．由于函数f（x）=lnx与函数g（x）=e^x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，因此所有次不动点之和为m=0，正确；
对于④．由定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），则函数f（x）的周期是6，正确．
以上四种说法，其中正确说法的序号为 ①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、等差数列的定义及其通项公式、反函数的性质、函数的周期性，考查了推理能力，属于中档题．