Question

过直线x+y+1=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径，求解即可．

解答： 解：∵圆x²+y²+2x-4y+1=0的方程可化为（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圆心坐标为（-1，2），半径为r=2；
∴圆心到直线x+y+1=0的距离为
d=

|-1+2+1|

2

=

2

．
设直线x+y+1=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点为A，B．
则|AB|=2

r2-d2

=2

4-2

=2

2

．
∴过点A，B的最小圆半径为

2

．
联立

x+y+1=0 x2+y2+2x-4y+1=0

解得，A（-3，2），B（-1，0）
∴最小圆的圆心为（-2，1），
∴最小圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=2．
故答案为（x+2）²+（y-1）²=2．

点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，圆的面积最小就是圆的半径最小，求出圆心坐标，求出半径即可求出圆的方程，是这一类问题的基本方法．