Question

6．过抛物线y=x²的焦点F作直线交抛物线于P，Q，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则2m+n的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 设PQ的斜率k=0，因抛物线焦点坐标为（0，$\frac{1}{4}$），把直线方程y=$\frac{1}{4}$代入抛物线方程得m，n的值，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4，利用“1”的代换，即可得到答案．

解答 解：抛物线y=4x²的焦点F为（0，$\frac{1}{4}$），
设PQ的斜率k=0，
∴直线PQ的方程为y=$\frac{1}{4}$，
代入抛物线y=x²得：x=±$\frac{1}{2}$，
即m=n=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4，
∴2m+n=$\frac{1}{4}$（2m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{4}$（3+$\frac{2m}{n}$+$\frac{n}{m}$）≥$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，设k=0，求出m，n是解题的关键，属于中档题．