Question

4．已知函敷f（x）=|x+2|-|x-1|，
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥|x-1|-2的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值三角不等式，求出f（x）的最小值，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论，去掉绝对值求不等式f（x）≥|x-1|-2的解集．

解答 解：（Ⅰ）由题意，f（x）=|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1=3，
∵关于x的不等式f（x）≤m恒成立，
∴m≥3；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|x-1|-2可化为|x+2|-2|x-1|≥-2．
x≤-2时，-x-2+2x-2≥-2，解得x≥2，∴x∈∅；
-2＜x＜1时，x+2+2x-2≥-2，解得x≥-$\frac{2}{3}$，∴-$\frac{2}{3}$＜x＜1；
x≥1时，x+2-2x+2≥-2，解得x≤6，∴1≤x≤6；
综上所述，不等式f（x）≥|x-1|-2的解集为{x|-$\frac{2}{3}$＜x≤6}．

点评 本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，解题的关键是去掉绝对值，是综合性题目．