Question

13．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，D、E分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA₁上．
（1）证明：直线A₁C₁∥平面FDE；
（2）若二面角F-DE-A的大小为$\frac{π}{4}$，求AF：AA₁的值．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁C₁∥AC∥DE，由此能证明直线A₁C₁∥平面FDE．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AF：AA₁的值．

解答 解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，
D、E分别为棱AB、BC的中点，
∴A₁C₁∥AC∥DE，
∵DE?平面FDE，A₁C₁?平面FDE，
∴直线A₁C₁∥平面FDE．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
D（1，1，0），E（0，1，0），设F（1，0，t），t∈（0，2），
则$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，-1，t），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（0，t，1），
平面DEA的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角F-DE-A的大小为$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，解得t=1，
∴AF：AA₁=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．