Question

椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．

(1)求证：＋等于定值；

(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

 (1)证明　由消去y，

得(a²＋b²)x²－2a²x＋a²(1－b²)＝0，①

∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，

即4a⁴－4(a²＋b²)a²(1－b²)＞0⇒a²b²(a²＋b²－1)＞0，

∵a＞b＞0，∴a²＋b²＞1.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁ 、x₂是方程①的两实根．

∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.②

由OP⊥OQ得x₁x₂＋y₁y₂＝0，

又y₁＝1－x₁，y₂＝1－x₂，

得2x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝0.③

式②代入式③化简得a²＋b²＝2a²b².④

∴＋＝2.

(2)解　利用(1)的结论，将a表示为e的函数

由e＝⇒b²＝a²－a²e²，

代入式④，得2－e²－2a²(1－e²)＝0.

∴a²＝＝＋.

∵≤e≤，∴≤a²≤.

∵a＞0，∴≤a≤.

∴长轴长的取值范围是[，]．