Question

 已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

解　(1)由题意可设抛物线C的方程为x²＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x²＝4y.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直线AB的方程为y＝kx＋1.

由消去y，整理得x²－4kx－4＝0，

所以x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4.从而|x₁－x₂|＝4.

又y＝x，且y＝x－2，

解得点M的横坐标x_M＝

同理点N的横坐标x_N＝.

所以|MN|＝|x_M－x_N|＝

＝8

令4k－3＝t，t≠0，则k＝.

当t>0时，|MN|＝2>2.

当t<0时，|MN|＝2≥ .

综上所述，当t＝－，即k＝－时，

|MN|的最小值是 .