Question

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁和F₂，由四个点M(－a，b)、N(a，b)、F₂和F₁组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F₁的直线和椭圆交于两点A，B，求△F₂AB面积的最大值．

Answer 1

解　(1)由条件，得b＝，且×＝3，

所以a＋c＝3.又a²－c²＝3，解得a＝2，c＝1.

所以椭圆的方程＋＝1.

(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x＝my－1，直线与椭圆交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

联立方程消去x，

得(3m²＋4)y²－6my－9＝0，

因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交．

∴y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－.

S△F₂AB＝|F₁F₂||y₁－y₂|＝|y₁－y₂|

＝令t＝m²＋1≥1，设y＝t＋，易知t∈时，函数单调递减，t∈函数单调递增，所以当t＝m²＋1＝1，即m＝0时，y_min＝.

S△F₂AB取最大值3.