Question

10．已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）求证：对任意m∈R，直线l与⊙C恒有两个交点；
（2）求直线l被⊙C截得的线段的最短长度，及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R转化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R=$\sqrt{5}$比较，判断l与圆的位置关系；
（2）弦长最小时，l⊥AC，由k_AC=-$\frac{1}{2}$直线l的斜率，从而由点斜式可求得l的方程．

解答 解：（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$得x=3，y=1，
故l恒过定点A（3，1）；
又圆心C（1，2），
∴|AC|=$\sqrt{5}$＜5（半径）
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．
（2）∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，
∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，
∵k_AC=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的斜率k_l=2，
∴由点斜式可得l的方程为2x-y-5=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系及恒过定点的直线，难点在于（2）中“弦长最小时，l⊥AC”的理解与应用，属于中档题．