Question

20．已知p：方程x²+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程$\frac{x^2}{m+3}-\frac{y^2}{2m-1}=1$表示焦点在y轴上的双曲线．
（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．
（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．

解答 解：（1）由已知方程$\frac{x^2}{m+3}-\frac{y^2}{2m-1}=1$表示焦点在y轴上的双曲线，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+3＜0}\\{1-2m＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{m＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得m＜-3，即q：m＜-3．
（2）若方程x²+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根
则$\left\{{\begin{array}{l}{△=4{m^2}-4（{m+2}）＞0}\\ \begin{array}{l}-2m＞0\\ m+2＞0\end{array}\end{array}}\right.$，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．
因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．
又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．
因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜m＜-1}\\{m≥-3}\end{array}}\right.$，解得-2＜m＜-1；
当p为假，q为真时，$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2或m≥-1}\\{m＜-3}\end{array}}\right.$，解得m＜-3．
综上，-2＜m＜-1或m＜-3．

点评 本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．