题目内容
1．（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$的最小值．
分析 （1）利用作差法，即可证明；
（2）由柯西不等式得：（x2+y2）（$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$）≥$（\frac{1}{3}+3）^{2}$，即可求得结论．
解答 （1）证明：左边=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2，右边=a2x2+2abxy+b2y2，
左边-右边=a2y2+b2x2-2abxy=（ay-bx）2≥0，…（2分）
∴左边≥右边，命题得证．…（3分）
（2）解：∵x2+y2=2，∴由柯西不等式得：（x2+y2）（$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$）≥$（\frac{1}{3}+3）^{2}$，…（5分）
∴$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$的最小值为$\frac{50}{9}$．…（7分）
点评 本题考查柯西不等式，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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6．下列函数中既是偶函数又在区间（-∞，0）上单调递减的是（ ）
| A． | y=-x+1 | B． | y=|x| | C． | $y=\frac{1}{x}$ | D． | $y=\frac{1}{{{x^2}+1}}$ |