Question

13．若点O和点F分别为椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值为（　　）

• A． 18
• B． 24
• C． 28
• D． 32

Answer 1

分析 设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的a=4，b=$\sqrt{7}$，c=3，
即有O（0，0），F（-3，0），
设P（x，y），
则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+3，y）=x²+3x+y²，
又点P在椭圆上，即有$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$，
所以x²+3x+7（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{9}{16}$x²+3x+7=$\frac{9}{16}$（x+$\frac{8}{3}$）²+3，
又-4≤x≤4，
所以当x=4时，$\frac{9}{16}$（x+$\frac{8}{3}$）²+3取得最大值为28，
即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值为28，
故选C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，同时考查二次函数在闭区间上的最值的求法，属中档题．