Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足${S_n}=\frac{3n}{2}-\frac{n^2}{2}，n∈{N^*}$．
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\{\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （ I）当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到{a_n}的通项公式；
（ II）由（I）知$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}=\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，运用裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（ I）当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3n}{2}$-$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$+$\frac{（n-1）^{2}}{2}$=2-n，
故{a_n}的通项公式为a_n=2-n；
（ II）由（I）知$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}=\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}}\right\}的前n项和为$
S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{-1}-\frac{1}{1}）+（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]=\frac{n}{1-2n}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．