Question

4．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别是（-3，0），（3，0），椭圆上任一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆过点$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，且c=3，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，且c=2，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，且知c=3，2a=10，a=5，
∴b²=a²-c²=16，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）由题意可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），且c=2，
又椭圆过点$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，∴$2a=\sqrt{（-\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{5}{2}+2）^{2}}+\sqrt{（-\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{5}{2}-2）^{2}}$=$2\sqrt{10}$．
∴a=$\sqrt{10}$，则b²=a²-c²=6．
则椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{10}+\frac{{x}^{2}}{6}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求投影点标准方程，是中档题．