Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，则下列正确的是（　　）

• A． 图象关于原点对称，在R上为增函数
• B． 图象关于y轴对称，在R上为增函数
• C． 图象关于原点对称，在R上为减函数
• D． 图象关于y轴对称，在R上为减函数

Answer 1

分析 先判断函数为奇函数，再根据奇函数的性质判断，利用导数确定函数的单调性．

解答 解：由于函数$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$的定义域为R，关于原点对称，
且满足f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-f（x），故函数为奇函数，
故它的图象关于原点对称，
∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$＞0，∴f（x）在R上为增函数，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，函数的求偶性的性质，属于中档题．