Question

12．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2sin² $\frac{x}{2}$．
（I）求f（x）的周期，并求x∈（0，π）时的单调增区间．
（II）在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C所对的边，若f（A）=1，且a=$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，从而求得f（x）的周期以及x∈（0，π）时的单调增区间．
（Ⅱ）由f（A）=1，求得A，可得B+C的值，利用正弦定理求得b、c的值，再利用两个向量的数量积的定义、正弦函数的值域，求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sinx-（1-cosx）=2sin（x+\frac{π}{6}）-1$，故该函数的周期T=2π，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，求得$2kπ-\frac{2π}{3}≤x≤2kπ+\frac{π}{3}$，
又x∈（0，π），所以f（x）在x∈（0，π）的单调增区间为$（0，\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）由f（A）=1，得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，∴$A=\frac{π}{3}$，则$B+C=\frac{2π}{3}$．
∵a=$\sqrt{3}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴c=$\frac{\sqrt{3}•sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2sinC．同理求得b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=2sinB．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc•cosA=2sinB•2sinC•cosA=2sinBsinC=2sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）=2sinB•[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-（-$\frac{1}{2}$）sinB]
=$\sqrt{3}$sinBcosB+sin²B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B-$\frac{1}{2}$cos2B+$\frac{1}{2}$=sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴当B=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$取得最大为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以、正弦定理，两个向量的数量积的定义，正弦函数的值域，属于中档题．