题目内容
14．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2的导函数f′（x），那么数列{$\frac{1}{f′（n）}$}，n∈N*的前n项和是$\frac{n}{n+1}$．分析 f′（x）=x2+x，可得$\frac{1}{f′（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：f′（x）=x2+x，
∴$\frac{1}{f′（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{f′（n）}$}，n∈N*的前n项和
S=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．
点评 本题考查了导数的运算法则、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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