Question

已知P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2013或2014，i=1，2，3，…，n}（n≥2），对于U，V∈P_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（1）令U=（2014，2014，2014，2014，2014），存在m个V∈P_s，使得d（U，V）=2，则m=

 

；
（2）令U=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），若V∈P_n，则所有d（U，V）之和为

 

．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：综合题,排列组合

分析：（1）根据d（U，V），由存在m个V∈P_s，使得d（U，V）=2可知m=C₅²；
（2）易知V_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=2013的v_k共有2^n-1个，b_i=2014的v_k共有2^n-1个然后求和即可．

解答： 解：（1）由题意，∵U=（2014，2014，2014，2014，2014），存在m个V∈P_s，使得d（U，V）=2，
∴根据d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，可得m=

C

2 5

=10；
（2）∵P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2013或2014，i=1，2，3，…，n}（n≥2），
∴P_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵b_i=2013的v_k共有2^n-1个，b_i=2014的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-2013|+|a₁-2014|+|a₂-2013|+a₂-2014|+|a₃-2013|+|a₃-2014|+…+|a_n-2013|+|a_n-2014|=n•2^n-1
∴d（U，V）=n•2^n-1．

点评：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．