Question

如图，已知A，B，C为不在同一直线上的三点，且AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁．
（1）求证：平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，且AC=AA₁=4，BC=3，AB=5，求证：A₁C丄平面AB₁C₁
（3）在（2）的条件下，求二面角C₁-AB₁-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出四边形ACC₁A₁是平行四边形，从而得到AC∥平面A₁B₁C₁，BC∥平面A₁B₁C₁，由此能够证明平面ABC∥平面A₁B₁C₁．
（2）法1：由题设条件推导出平面ACC₁A₁⊥平面ABC，用勾股定理推导出BC⊥平面ACC₁A₁，从而得到ACC₁A₁为正方形，由此能够证明A₁C丄平面AB₁C₁．
法2：以点C为原点，分别以AC、CB、CC₁所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能够证明A₁C⊥平面AB₁C₁．
（3）由（2）得

CA

=(4，0，0)，

CB1

=(0，3，4)，求出平面AB₁C的法向量

n

，利用向量法能求出二面角C₁-AB₁-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，（1分）
∴AC∥A₁C₁，∵AC?面A₁B₁C₁，A₁C₁?面A₁B₁C₁，
∴AC∥平面A₁B₁C₁，（3分）
同理可得BC∥平面A₁B₁C₁，又AC∩CB=C，
∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁．（4分）
（2）证法1：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，（5分）
平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC，（6分）
∴BC⊥平面ACC₁A₁，（7分）
∴BC⊥A₁C，∵BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C，
又AA₁⊥AC，AC=AA₁，得ACC₁A₁为正方形，
∴A₁C⊥AC₁，（8分）
又AC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁C丄平面AB₁C₁．（9分）
证法2：∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²∴BC⊥AC，（5分）
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面ABC，（6分）
以点C为原点，分别以AC、CB、CC₁所在的直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系如图示，
∵AA₁⊥平面ABC，且AC=AA₁=4，BC=3，AB=5，
∴A（4，0，0），B（0，3，0），C（0，0，0），
A₁（4，0，4），B₁（0，3，4），C₁（0，0，4），
则

A1C

=(-4，0，-4)，

C1A

=（4，0，-4），

C1B1

=(0，3，0)，（7分）
∵

A1C

•

C1A

=0，

A1C

•

C1B1

=0，
∴A₁C⊥C₁A，A₁C⊥C₁B₁，（8分）
又C₁A∩C₁B₁=C₁，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．（9分）
（3）解：由（2）得

CA

=(4，0，0)，

CB1

=(0，3，4)，（10分）
设平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z），
则由

CB1

⊥

n

，

CA

⊥

n

，得

3y+4z=0 4x=0

，
令y=4，得

n

=（0，4，-3），（12分）
由（2）知A₁C是平面AB₁C₁的法向量，
∴cos＜

n

，

A1C

＞=

| n • A1C |

| n |•| A1C |

=

12

20 2

=

3 2

10

，
即二面角C₁-AB₁-C的余弦值为

3 2

10

．（14分）
（其它解法请参照给分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．