题目内容
下列条件中，是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件的个数为（ ）
①asinA=bsinB ②acosA=bcosB ③acosB=bcosA ④asinB=bsinA．
①asinA=bsinB ②acosA=bcosB ③acosB=bcosA ④asinB=bsinA．
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,两角和与差的正弦函数,正弦定理
专题：简易逻辑
分析：分别根据正弦定理和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：
解：①由正弦定理可知若asinA=bsinB，则a2=b2，
∴asinA=bsinB是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，∴①正确．
②由正弦定理可知acosA=bcosB，则sinAcosA=sinBcosB，
即
sin2A=
sin2B，
∴sin2A=sin2B，即2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=
，即△ABC为等腰三角形或者是直角三角形，
∴acosA=bcosB是“△ABC为等腰三角形”的必要不充分条件，∴②错误．
③由正弦定理可知若acosB=bcosA，
则sinAcosB=sinBcosA，即sin（A-B）=0，
∴A=B，∴acosB=bcosA是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，∴③正确．
④由正弦定理可知若asinB=bsinA．
则sinAsinB=sinBsinA．此时对任何三角形都成立，∴asinB=bsinA不是充分不必要条件，∴④错误，
故正确是①③，
故选：B．
∴asinA=bsinB是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，∴①正确．
②由正弦定理可知acosA=bcosB，则sinAcosA=sinBcosB，
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴sin2A=sin2B，即2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=
| π |
| 2 |
∴acosA=bcosB是“△ABC为等腰三角形”的必要不充分条件，∴②错误．
③由正弦定理可知若acosB=bcosA，
则sinAcosB=sinBcosA，即sin（A-B）=0，
∴A=B，∴acosB=bcosA是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，∴③正确．
④由正弦定理可知若asinB=bsinA．
则sinAsinB=sinBsinA．此时对任何三角形都成立，∴asinB=bsinA不是充分不必要条件，∴④错误，
故正确是①③，
故选：B．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用正弦定理是解决本题的关键．
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| 7π |
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| ||
B、-
| ||
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|
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|
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| ||
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| ||
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