Question

10．若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使（2-sin2x）sin（x+$\frac{π}{4}$）=1，则x=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由诱导公式、二倍角的余弦公式变形化简sin2x，代入已知的等式化简后，设t=sin（x+$\frac{π}{4}$），由x的范围求出x+$\frac{π}{4}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的范围，代入化简后求出t的值，由x+$\frac{π}{4}$得到范围和特殊角的三角函数值求出x的值．

解答 解：sin2x=-cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-1+2sin²（x+$\frac{π}{4}$），
代入（2-sin2x）sin（x+$\frac{π}{4}$）=1得，[3-2sin²（x+$\frac{π}{4}$）]sin（x+$\frac{π}{4}$）=1，①
设t=sin（x+$\frac{π}{4}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，则t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
代入①得，（3-2t²）t=1，2t³-3t+1=0，
则2t³-2t-t+1=0，2t（t²-1）-（t-1）=0，即（t-1）（2t²+2t-1）=0，
所以t-1=0或2t²+2t-1=0，解得t=1或t=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$或t=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
又t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，则t=1，即sin（x+$\frac{π}{4}$）=1，
由x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]得，x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查正弦的图象与性质，三角恒等变换中的公式，高次方程的化简以及求解，考查换元法的应用，化简、变形能力．