Question

13．已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点Q（2，0），过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，当△QEF的面积最大时，求直线l的方程；
（3）过直线l′：3x+4y+14=0上一点R引点P的轨迹C的两条切线，切点分别为M，N，当线段MN的长度最小时，求MN所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，建立方程，即可求点P的轨迹方程；
（2）表示出面积，利用换元、配方法，即可得出结论．
（3）设R（x₀，y₀），得出直线MN方程为（x₀-2）（x-2）+y₀y=4，要求线段MN的长度最小，则要圆心到直线的距离最大．

解答 解：（1）∵动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，
∴（x+2）²+y²=4（x-1）²+4y²，
∴（x-2）²+y²=4；
（2）设直线方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
（2，0）到直线的距离为d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
直线代入圆的方程，整理得（1+k²）x²+（4k²-4）x+4k²=0，
∴|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△EFQ=$\frac{1}{2}$|EF|d=8$\sqrt{\frac{（1-3{k}^{2}）{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
设t=1+k²（t≥1），S_△EFQ=8$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴t=$\frac{8}{7}$时，S_△EFQ取得最大值2，此时k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+2）．
（3）设R（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则3x₀+4y₀+14=0，
∴切线RM、RN方程分别为（x₁-2）（x-2）+y₁y=4，（x₂-2）（x-2）+y₂y=4，
∵切线RM、RN都经过点R（x₀，y₀），
∴（x₁-2）（x₀-2）+y₁y₀=4，（x₂-2）（x₀-2）+y₂y₀=4，
∴直线MN方程为（x₀-2）（x-2）+y₀y=4，
要求线段MN的长度最小，
则要圆心到直线的距离最大，
∴d=$\frac{4}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{{y}^{2}}_{0}}}$，
∵3x₀+4y₀+14=0，
消去y₀得，（x₀-2）²+y${{\;}_{0}}^{2}$=$\frac{25}{16}$（x₀+$\frac{2}{5}$）²+16，
∴x₀=-$\frac{2}{5}$，d_max=1，y₀=-$\frac{16}{5}$，
∴当线段MN的长度最小时，MN所在直线的方程3x+4y-1=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．