Question

20．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如茎叶图所示：
根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （I）由茎叶图可知，抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，由题意可知，从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为$\frac{3}{4}$，设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．
（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望E（ξ）．

解答 解：（I）由茎叶图可知，抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为$\frac{3}{4}$，
由题意可知，从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为$\frac{3}{4}$，
设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，
则P（A）=1-${C}_{3}^{3}（1-\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{63}{64}$，
∴至少有1人成绩是“优良”的概率为$\frac{63}{64}$．（6分）
（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$．
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

所以ξ的期望E（ξ）=$0×\frac{1}{220}+1×\frac{27}{220}+2×\frac{27}{55}+3×\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．