Question

19．已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x³-2x+3，求f（x）的解析式，并指出单调区间．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性的关系，利用转化法进行求解即可求出函数的解析式，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系研究单调性即可．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
当x∈（0，+∞），则-x∈（-∞，0），
∵当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x³-2x+3，
∴当x∈（0，+∞）时，f（-x）=x³+2x+3=-f（x），
即当x∈（0，+∞）时，f（x）=-x³-2x-3，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}-2x+3，}&{x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{-{x}^{3}-2x-3，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x³-2x+3，
则函数的导数f′（x）=-3x²-2＜0，则函数此时为减函数，且此时f（x）＞3，
∵函数是奇函数，∴当x＞0时函数f（x）为减函数，
∴函数f（x）在整个定义域（-∞，+∞）上为减函数，
故函数的单调递减区间为（-∞，+∞），无递增区间．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的判断，根据函数奇偶性的性质利用转化法是解决本题的关键．