Question

15．试证直径上的圆周角为直角．

Answer 1

分析 要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为-1，所以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为-1即可得证．

解答 证明：将圆的直径AB所在的直线取为x轴，圆心作为原点，
不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x²+y²=1．
A、B的坐标是A（-1，0）、B（1，0）．
设P（x，y）是圆上任一点，则有y²=1-x²．
∵PA的斜率为k₁=$\frac{y}{x+1}$，PB的斜率为k₂=$\frac{y}{x-1}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-1
∴PA⊥PB，∠APB为直角．
即直径上的圆周角为直角，得证．

点评 此题为一道证明题，要求学生掌握两直线垂直的条件为斜率乘积为-1，会利用解析的方法证明数学问题，属于中档题．