Question

已知f(x)=lg(

4x2+b

+2x)，其中常数b＞0．求证：
（1）当b=1时，f（x）是奇函数；
（2）当b=4时，y=f（x）的图象上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的判断

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）+f（-x）=0，即可证明f（x）是奇函数；
（2）利用反证法，结合对数函数的性质，即可证明．

解答： 证明：（1）由题意，函数定义域R，…（1分）
对定义域任意x，有：f(-x)=lg(

4x2+1

-2x)=lg

1

4x2+1 +2x

=-lg(

4x2+1

+2x)…（4分）
所以f（-x）=-f（x），即y=f（x）是奇函数．…（6分）
（2）假设存在不同的A，B两点，使得AB平行x轴，则lg(

4xA2+4

+2xA)=lg(

4xB2+4

+2xB)…（9分）
∴

xA2+1

-

xB2+1

=x_B-x_A，
化简得：xA2+xB2-2xAxB=0，即x_A=x_B，与A、B不同矛盾．      …（13分）
∴y=f（x）的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行        …（14分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，考查反证法，属于中档题．