Question

8．如图，OA、OB是两条公路（近似看成两条直线），$∠AOB=\frac{π}{3}$，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．
（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；
（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．

Answer 1

分析 （1）设∠POA=α，分别在△OPD和△OPE中用α表示出OP，解方程即可得出α，从而求出OP的长；
（2）设∠PMO=θ，分别表示出PM，PN，解方程得出θ，从而得出MN的长．

解答 解：（1）设∠POA=α，则$∠POB=\frac{π}{3}-α$，
∵PD=6，PE=12，
∴$OP=\frac{6}{sinα}=\frac{12}{{sin（\frac{π}{3}-α）}}$，
∴$2sinα=sin（\frac{π}{3}-α）$，化简得$tanα=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，
又sin²α+cos²α=1，∴$sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{7}}}$，
∴$OP=\frac{6}{sinα}=4\sqrt{21}$．
∴纪念塔P到两条公路交点O处的距离为4$\sqrt{21}$千米．
（2）设∠PMO=θ，则∠PNO=$\frac{2π}{3}$-θ，
∵P为MN的中点，即PM=PN，
∴$\frac{6}{sinθ}=\frac{12}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}$，
即$sin（\frac{2π}{3}-θ）=2sinθ$，解得$θ=\frac{π}{6}$，
∴$MN=2PM=\frac{12}{{sin\frac{π}{6}}}=24$．
∴小路MN的长为24千米．

点评 本题考查了解三角形的应用，属于基础题．