Question

20．环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良．

天数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
空气质量指数	7.1	8.3	7.3	9.5	8.6	7.7	8.7	8.8	8.7	9.1

天数	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
空气质量指数	7.4	8.5	9.7	8.4	9.6	7.6	9.4	8.9	8.3	9.3

（Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；
（Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；
（II）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望．

解答 解：（I）由表中数据可知20天中，空气质量优良的天数是12天，
∴从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率为P=$\frac{{{C}_{12}^{2}C}_{8}^{1}{+C}_{12}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{187}{285}$．
（II）任意抽取1天，则该天空气质量优良的概率为$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
故X服从二项分布X～B（3，$\frac{3}{5}$），
∴P（X=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{3}{5}$×（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{3}{5}$）²×$\frac{2}{5}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×$（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴E（X）=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．