Question

18．函数f（x）=-4x³+kx，对任意的x∈[-1，1]，总有f（x）≤1，则实数k的取值为3．

Answer 1

分析 通过讨论x的范围问题转化为k≤4x²+$\frac{1}{x}$在（0，1]恒成立且k≥4x²+$\frac{1}{x}$在[-1，0）恒成立，求出a的值即可．

解答 解：由题意得：kx≤4x³+1在[-1，1]恒成立，
x=0时，显然成立，
x∈（0，1]时，问题转化为k≤4x²+$\frac{1}{x}$在（0，1]恒成立，
令g（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1]，
g′（x）=$\frac{{8x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
故g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=3，
故k≤3，
x∈[-1，0）时，问题转化为k≥4x²+$\frac{1}{x}$在[-1，0）恒成立，
令h（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，x∈[-1，0），
g′（x）=$\frac{{8x}^{3}-1}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在[-1，0）递减，
故g（x）_max=g（-1）=3，
故k≥3，综上k=3，
故答案为：3．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．