Question

14．已知$A（\frac{1}{4}，0）$，动点P到点A的距离比到直线x=-$\frac{5}{4}$的距离少 1；
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知M（4，0），是否存在定直线x=a，以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意点P的轨迹是以A为焦点的抛物线，即可求得点P的轨迹方程；
（2）因为P在（1）中的抛物线上，设出P的坐标，求出PM的中点坐标，利用弦心距公式列式求出以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长，有弦长为定值可求得定值a的值．

解答 解：（1）∵$A（\frac{1}{4}，0）$，动点P到点A的距离比到直线x=-$\frac{5}{4}$的距离少 1，
∴点P的轨迹是以A为焦点的抛物线，即点P的轨迹方程：y²=x（4分）
（2）由（1），点P的轨迹方程是y²=x；设P（y²，y），
∵M （4，0），则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T（$\frac{{{y^2}+4}}{2}$，$\frac{y}{2}$），以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长：L=2$\sqrt{{{（\frac{{{y^2}+4}}{2}-4）}^2}+{{（\frac{y}{2}-0）}^2}-{{（\frac{{{y^2}+4}}{2}-a）}^2}}$=2$\sqrt{（a-4）（{y^2}-a）+\frac{y^2}{4}}$（6分）
=2$\sqrt{（a-\frac{15}{4}）{y^2}-a（a-4）}$（8分）
若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-$\frac{15}{4}$=0，即a=$\frac{15}{4}$时，L=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$（11分）
∴存在定直线x=$\frac{15}{4}$，以PM为直径的圆与直线x=$\frac{15}{4}$的相交弦长为定值$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$．（12分）

点评 本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆的关系，训练了利用弦心距求弦长，是有一定难度题目．