Question

9．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有两个公共点，则m的取值范围为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （1，5）∪（5，+∞）
• D． [1，5）∪（5，+∞）

Answer 1

分析 直线方程与椭圆方程联立化为：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0．根据直线与椭圆恒有两个公共点，可得△＞0，m＞0，m≠5．解出即可得出．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$，化为：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0．
∵直线与椭圆恒有两个公共点，∴△=100k²-4（m+5k²）（5-5m）＞0，m＞0，m≠5．
化为：m²-（1-5k²）m＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1-5k²，m＞0，m≠5，又k∈R，
∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交与判别式的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．