Question

3．过平面区域$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$内一点作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（　　）

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{20}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合得到P，联立方程组求得P的坐标，进一步求出sin$\frac{α}{2}$，代入二倍角余弦公式求得cosα的值．

解答 解：如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y+2=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得P（-4，-2），
|OP|=$\sqrt{（-4）^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$．
则cosα=$1-2si{n}^{2}\frac{α}{2}=1-2×\frac{1}{20}=\frac{9}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．