Question

13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=$\sqrt{7}$，sinB=3sinA．
（1）若C=$\frac{π}{3}$，求a，b的值；
（2）若cosC=$\frac{1}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知等式及正弦定理可得b=3a，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，联立即可解得a，b的值．
（2）先求$sinC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，又b=3a，由余弦定理可得$c=2\sqrt{2}a$，可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）$C=\frac{π}{3}$，由正弦定理知sinB=3sinA即b=3a，…（4分）
当$c=\sqrt{7}$时，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+9a²-3a²，
解得a=1，b=3．…（7分）
（2）由$cosC=\frac{1}{3}$得$sinC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，又b=3a，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+9a²-2a²=8a²，即$c=2\sqrt{2}a$．…（9分）
因为$c=\sqrt{7}$，所以$a=\frac{{\sqrt{14}}}{4}，b=\frac{{3\sqrt{14}}}{4}$，…（12分）
因此${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{4}×\frac{{3\sqrt{14}}}{4}×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．