Question

11．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
（Ⅰ）若2′f（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=2^2x+2^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，当t∈[1，2]时，2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，再由2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，化简可得-m≤1+2^2t，求出右边函数的最小值，即可得到m的范围；
（Ⅱ）先换元，令t=f（x）=2^x-2^-x，求出t的范围，将问题转化为二次函数的问题来求解，注意讨论对称轴和区间的关系．

解答 解：（Ⅰ）当t∈[1，2]时，2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，
∵1≤t≤2，2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$递增，且最小值为$\frac{3}{2}$＞0．
∴2^t（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$）+m≥0，即有-m≤1+2^2t，
∵t∈[1，2]，∴1+2^2t∈[5，17]，
即有-m≤5，解得m≥-5，
故m的取值范围是[-5，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥$\frac{3}{2}$），
若m≥$\frac{3}{2}$，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2；
若m＜$\frac{3}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，
解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去．
综上可知m=2．

点评 本题考查指数函数的性质和函数恒成立问题的应用，考查化归与转化的数学思想，培养学生的抽象概括能力、运算求解能力．