Question

8．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₁为圆心，短半轴长为半径的圆与y轴相切，且与直线x-$\sqrt{3}$y-2=0相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点P（$\sqrt{6}$，0），直线l与椭圆交于A、B两点，且满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2，试问直线l是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由以F₁为圆心，短半轴长为半径的圆与y轴相切，可得圆心坐标为（-c，0），半径为b，b=c，利用圆与直线x-$\sqrt{3}$y-2=0相切，求出b，c，又a²=b²+c²，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消去y整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，由根的判别式和韦达定理结合已知条件求出直线AB的方程为y=k（x-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），从而得到直线AB经过定点（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0）．当直线AB与x轴垂直时，直线方程为x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，也有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2．由此证明直线AB一定过定点（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0）．

解答 解：（1）∵以F₁为圆心，短半轴长为半径的圆与y轴相切，
∴圆心坐标为（-c，0），半径为b，b=c
∵圆与直线x-$\sqrt{3}$y-2=0相切，
∴$\frac{|-c-2|}{\sqrt{1+3}}$=c，∴c=2，b=2，∴a=2$\sqrt{2}$
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，
代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消去y整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
由△＞0，得8k²+4-m²＞0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
∵点P（$\sqrt{6}$，0），A，B为已知椭圆上两动点，且满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（k²+1）x₁x₂+（km-$\sqrt{6}$）（x₁+x₂）+6+m²=-2，
∴（k²+1）•$\frac{2{m}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$+（km-$\sqrt{6}$）（-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$）+8+m²=0，
整理，解得m=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$k，满足（*）
∴直线AB的方程为y=k（x-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴直线AB经过定点（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0）．
②当直线AB与x轴垂直时，直线方程为x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
此时A（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），也有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2，
综上，直线AB一定过定点（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与证明，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．