题目内容
求函数y=
的值域．
| x2 |
| x-1 |
考点：函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：分离函数解析式，利用基本不等式求值域即可，注意分累讨论．
解答：
解：∵y=
∴x∈（-∞，1）∪（1，+∞）
∴y=
=
=（x-1）+
+2
x∈（-∞，1）时，x-1＜0，（x-1）+
≤-2
+2=0
当且仅当1-x=
即（1-x）2=1，x=0时去等号
x∈（1，+∞）时，x-1＞0，（x-1）+
+2≥2
+2=4
当且仅当（x-1）2=1，x=2时取等号
故函数值域为（-∞，0]∪[4，+∞）
| x2 |
| x-1 |
∴y=
| x2 |
| x-1 |
| (x-1)2+2(x-1)+1 |
| x-1 |
| 1 |
| x-1 |
x∈（-∞，1）时，x-1＜0，（x-1）+
| 1 |
| x-1 |
(1-x)
|
当且仅当1-x=
| 1 |
| 1-x |
x∈（1，+∞）时，x-1＞0，（x-1）+
| 1 |
| x-1 |
(x-1)
|
当且仅当（x-1）2=1，x=2时取等号
故函数值域为（-∞，0]∪[4，+∞）
点评：本题考查了基本不等式求最值，属于基础题．
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