Question

已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ，x∈R，0＜φ＜π，f（

π

4

）=-

3

2

．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，α∈（

π

2

，π），求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据f（

π

4

）=-

3

2

．化简函数解析式，得到Φ=

5π

6

，然后，求解函数表达式；
（2）根据f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，得到sin（α+

π

6

）=

5

13

，然后，利用角的拆分进行求值．

解答： 解：（1）∵f（

π

4

）=-

3

2

．
∴sin

π

2

cosΦ+cos

π

2

sinΦ=-

3

2

．
∴cosΦ=-

3

2

．
∵0＜φ＜π，
∴Φ=

5π

6

，
∴f（x）=sin2xcos

5π

6

+cos2xsin

5π

6

=sin（2x+

5π

6

）．
∴f（x）的表达式f（x）=sin（2x+

5π

6

）；
（2）∵f（

α

2

-

π

3

）=sin[2（

α

2

-

π

3

）+

5π

6

]=

5

13

，
∴sin（α+

π

6

）=

5

13

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴（α+

π

6

）∈（

2π

3

，

7π

6

），
∴cos（α+

π

6

）=-

12

13

，
∴cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=

5-12 3

26

．

点评：本题重点考查了三角公式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．