Question

3．若双曲线mx²+y²=1（m＜-1）的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则m=-7-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的标准方程，求出a，b，结合离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，建立方程关系进行转化求解即可．

解答 解：双曲线的标准方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}$=1（m＜-1），
则焦点在y轴上，且a=1，b²=-$\frac{1}{m}$，
∵离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，
∴e²=2a•2b=4ab，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4ab，
则c²=4b，即1+b²=4b，
平方得1+2b²+b⁴=16b²，
即b⁴-14b²+1=0，
则$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{14}{m}$+1=0，
则1+14m+m²=0
即m=$\frac{-14±\sqrt{196-4}}{2}$=$\frac{-14±8\sqrt{3}}{2}$=-7±4$\sqrt{3}$，
∵m＜-1，
∴m=-7-4$\sqrt{3}$，
故答案为：$-4\sqrt{3}-7$；

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，根据条件求出双曲线的标准方程结合等比中项的性质建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力．