Question

16．已知曲线C₁：x+$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$和C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
（1）把曲线C₁、C₂的方程化为极坐标方程
（2）设C₁与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C₁、C₂交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；
（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C₁、C₂得到，P，Q的极坐标，求距离即可．

解答 解：（1）线C₁：x+$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$和C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以C₁：$ρcosθ+ρ\sqrt{3}sinθ=\sqrt{3}$，即$2ρsin（θ+\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$，所以$ρsin（θ+\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，所以其极坐标方程为$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{6}+\frac{{ρ}^{2}si{n}^{2}θ}{2}=1$，即${ρ}^{2}=\frac{6}{1+2si{n}^{2}θ}$．
（2）由题意M（$\sqrt{3}$，0），N（0，1），所以P（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$），所以射线OP的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{6}$，
把$θ=\frac{π}{6}$代入C₁得到ρ₁=1，P（1，$\frac{π}{6}$）；
把$θ=\frac{π}{6}$代入C₂得到ρ₂=2，Q（2，$\frac{π}{6}$），
所以|PQ|=|ρ₂-ρ₁|=1，即P，Q两点间的距离为1．

点评 本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．