Question

18．设变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-3y+3≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，若z=x-y-4，则|z|的取值范围是[$\frac{7}{2}$，6] ．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-3y+3≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，对应的平面区域如图：
由z=x-y-4得y=x-z-4，
平移直线y=x-z-4由图象可知当直线y=x-z-4经过点B（1，3）时，直线y=x-z-4的截距最大，
此时|z|=|x-y-4|最大为|z|=|1-3-4|=6，
当直线y=x-z-4z经过点A时，$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y+3=0}\end{array}\right.$，可得A（$\frac{9}{4}$，$\frac{7}{4}$），直线y=x-z-4的截距最小，此时|z|最小为：|z|=$|\frac{9}{4}-\frac{7}{4}-4|$=$\frac{7}{2}$，
故答案为：[$\frac{7}{2}$，6]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．