Question

8．解下列各题．
（1）已知cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，cos（α-β）=$\frac{1}{5}$，求tanαtanβ的值；
（2）已知θ∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin⁴θ+cos⁴θ=$\frac{5}{8}$，求sinθcosθ的值．

Answer 1

分析 （1）展开cos（α+β）与cos（α-β），求出cosαcosβ与sinαsinβ的值，即可计算tanαtanβ的值；
（2）利用同角的平方关系与完全平方公式，即可求出sinθcosθ的值．

解答 解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{3}$①，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{5}$②，
由①②组成方程组，解得cosαcosβ=$\frac{4}{15}$，
sinαsinβ=-$\frac{1}{15}$，
∴tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=-$\frac{1}{4}$；
（2）∵sin⁴θ+cos⁴θ=$\frac{5}{8}$，
∴sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=$\frac{5}{8}$，
∴sin²θcos²θ=$\frac{3}{16}$，
∴（sinθcosθ）²=$\frac{3}{16}$，
又θ∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了两角和与差的余弦公式与同角的平方关系问题，是基础题目．