Question

9．已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．若f（x）的零点组成集合A≠∅，g（f（x））的零点组成集合B，A=B．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（r）=0，则g（f（r））=0，即g（0）=0，得出d=0；
（2）f（x）=g（x）=bx²+cx，则g（f（x））=x（bx+c）（b²x²+bcx+c），讨论b，c的符号及两方程根的关系得出b²x²+bcx+c=0无解，从而得出c的范围．

解答 解：（1）设r为f（x）的一个零点，即f（r）=0，则g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
∴d=0．
（2）当a=0时，f（x）=g（x）=bx²+cx=x（bx+c）．
∴g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．
方程f（x）=0?x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0?x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②
当b=0时，c≠0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
当b≠0，c=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
当b≠0，c≠0时，方程①的根为x₁=0，x₂=-$\frac{c}{b}$，它们也都是方程②的根，
但它们不是方程b²x²+bcx+c=0的实数根．则方程b²x²+bcx+c=0无实数根时，符合题意，
此时△=（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4，
综上所述，b=0时，c≠0时，b≠0时，0≤c＜4；

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根，函数的最值，还考查了分类讨论思想，转化思想，属于中档题．