Question

4．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow b$=（sin（$\frac{π}{4}$+2x），cos2x）（x∈R）．设函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求$f（-\frac{π}{4}）$的值；
（2）求f（x）的最大值及对应的x值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$得到函数f（x）的解析式，然后把x=-$\frac{π}{4}$代入解析式即可；
（2）根据两角和与差的正弦函数公式对函数进行整理，再结合三角函数在闭区间上的最值讨论即可得到函数的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+2x）-2cos2x$，
$f（-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{2}）-2cos（-\frac{π}{2}）=-1$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}cos2x+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x$=$\sqrt{2}\;sin\;（2x-\frac{π}{4}）$．
当$2x-\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，即当$x=kπ+\frac{3π}{8}\;，\;k∈Z$时，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}$．

点评 本题结合三角函数中的恒等变换公式，将三角函数式化简并求函数的周期与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质等知识，属于基础题．