Question

4．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．
（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．

Answer 1

分析 （I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[55，65]内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率．

解答 解：（Ⅰ）设区间[75，85）内的频率为x，
则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．…（1分）
依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，…（3分）
解得x=0.05．所以区间[55，65]内的频率为0.2．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45，55），[55，65），[65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1．
用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，
则在区间[45，55）内应抽取$6×\frac{0.3}{0.3+0.2+0.1}=3$件，记为A₁，A₂，A₃．
在区间[55，65）内应抽取$6×\frac{0.2}{0.3+0.2+0.1}=2$件，记为B₁，B₂．
在区间[65，75）内应抽取$6×\frac{0.1}{0.3+0.2+0.1}=1$件，记为C．…（6分）
设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[55，75]内”为事件M，
则所有的基本事件有：{A₁，A₂}，{A₁，A₃}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，C}，{A₂，A₃}，{A₂，B₁}，{A₂，B₂}，{A₂，C}，{A₃，B₁}，{A₃，B₂}，{A₃，C}，{B₁，B₂}，{B₁，C}，{B₂，C}，共15种．…（8分）
事件M包含的基本事件有：{B₁，B₂}，{B₁，C}，{B₂，C}，共3种．…（10分）
所以这2件产品都在区间[55，75]内的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．…（12分）

点评 本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题．