Question

14．如图，割线PAB交于圆O于A、B两点，PO交于圆O于C，D在AB上，且满足CD²=DA•DB．
（Ⅰ）求证：OD⊥CD；
（Ⅱ）若PA=6，AB=$\frac{22}{3}$，PO=12，求PC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长CD，交圆O于E，证明D是CE的中点，即可证明：OD⊥CD；
（Ⅱ）延长PO交圆O于F，由割线定理得PC•PF=PA•PB，代入数据求PC的长．

解答 （Ⅰ）证明：延长CD，交圆O于E，
由相交弦定理得CD•DE=DA•DB，
∵CD²=DA•DB，
∴CD=DE，
∴D是CE的中点，
∴OD⊥CD；
（Ⅱ）解：延长PO交圆O于F，
由割线定理得PC•PF=PA•PB，
设圆O的半径为r，则（12-r）（12+r）=6×（6+$\frac{22}{3}$），
∴r=8，
∴PC=4．

点评 本题考查相交弦定理、割线定理，考查学生方程解决问题的能力，属于中档题．