Question

已知函数f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ，其图象关于直线x=

π

3

对称，且ω∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象过点(

π

2

，0)，求f（x）在[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，由题意可得2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z结合ω∈（0，2）可得ω=1，易得最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由y=f（x）的图象过点(

π

2

，0)可得λ=-1，可得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，由x∈[0，

π

2

]逐步计算可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
∵函数图象关于直线x=

π

3

对称，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，∴ω=

3

2

k+1，k∈Z
又ω∈（0，2），∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）+λ
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）若y=f（x）的图象过点(

π

2

，0)，
则2sin（π-

π

6

）+λ=0，解得λ=-1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x-

π

6

）∈[-1，2]，
∴2sin（2x-

π

6

）-1∈[-2，1]，
∴f（x）在[0，

π

2

]的值域为：[-2，1]，

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的对称性和周期性，属中档题．