Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=

2

，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求四面体A-A₁ED的体积；
（2）求异面直线AE与B₁D所成角的大小．（结果用反三角函数表示）

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（1）由已知条件求出△A₁ED的面积，再由VA-A1ED=VE-A1AD，利用等积法能求出四面体A-A₁KD的体积．
（2）取CC₁中点F，连结DF，B₁F．因为DF∥AE，所以DF与B₁D所成的角的大小等于异面直线AE与B₁D所成的角的大小．由此能求出异面直线AE与B₁D所成的角的大小．

解答： （本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．
解：（1）因为在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面ABCD是矩形，AB=1，BC=

2

，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点，
所以S△A1ED=

1

2

×2×

2

=

2

，
所以VA-A1ED=VE-A1AD=

1

3

S△A1ED•AB=

2

3

．
（2）取CC₁中点F，连结DF，B₁F．
因为DF∥AE，所以DF与B₁D所成的角的大小等于异面直线AE与B₁D所成的角的大小．
在△B₁DF中，B1D=

7

，DF=

2

，B1F=

3

，
所以cos∠B1DF=

DF2+DB12-B1F2

2DF•DB1

=

3 14

14

，
所以异面直线AE与B₁D所成的角为arccos

3 14

14

．

点评：本题考查四面体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．